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上辈子是洛伦兹的同学应该都知道。
自由场情景下洛伦兹变换不改变场的形式,矩阵D决定了场的变换方式,所以只要考虑群的性质就可以了。
而W又是小群,对于有质量粒子场想要做出SO(3)群的不可约幺正表示,只要考虑右边的湮灭算符就行。
这种计算对于赵忠尧这样的大佬来说并不算什么难题,因此很快赵忠尧便写下了对应的步骤:
“先从动量算符入手,p^=-indd……”
“当湮灭算符作用在基态上时得到零,即a-ψa=0,因子n2nmω可以约掉……”
“然后再做出无量纲化的共轭复振幅算符,它的时间演化就是乘上eiωt相位变化……”
十多分钟后。
赵忠尧轻轻放下笔,露出了一道若有所思的表情:
“咦……谐振子居然有两个解析解?”
随后他又看向了一旁同时在计算的胡宁和朱洪元二人,问道:
“老胡,洪元同志,你们的结果呢?”
胡宁朝他扬了扬手中的算纸:
“我也是两个解。”
朱洪元的答案同样简洁:
“我也是。”
见此情形,老郭不由眯了眯眼睛。
他所计算的是SO(1)和SO(3)群的粒子数算符,虽然前置条件是单粒子态的算符只取决于延迟时刻的位置和速度,但这个假设其实和现实几乎无异。
而根据计算结果显示。
这个模型在数学上具备两个解析解,对应的是量子所述的玻色子规范场。
其中一个解析解对应的自旋为1,另一个解析解对应的自旋则为0。
而自旋为零在场论中对应的便是……
标量概念。
这其实很好理解。
量子场论中使用的的自然单位进行计算,真空中的光速c=约化普朗克常数n=1,时空坐标x=(x1,x2,x3,x4)=(x,y,z,it)=(X,it),偏微分算符a=(a1,a2,a3,a4)=(a/ax,a/ay,a/az,a/iat)=(a,-iat)=(▽,-ia/at)
狭义相对论的能量动量关系式是E^2=P^2+m^2,让能量E用能量算符ia/at替换,动量P用动量算符-i▽替换,就可以得到-a^2/at^2=-▽^2+m^2,即▽^2-a^2/at^2-m^2=0
让它两边作用在波函数Ψ上得(a^2-m^2)Ψ=0,这就是大名鼎鼎的克莱因-戈登场方程。
算符a^2在洛伦兹变换下是四维标量,即a^2=a^2静质量的平方m^2是常数。
要使克莱因-戈登场方程具有洛伦兹变换的协变,即将方程(a^2-m^2)Ψ=0时空坐标进行洛伦兹变换后得到的(a^2-m^2)Ψ=0形式不变,唯一要求就是洛伦兹时空坐标变换后的波函数Ψ=Ψ就达到目的了,这样的场叫标量场。
如果让洛伦兹变换特殊一点,保持时间不变,而在空间中旋转,这样旋转后的波函数Ψ(X,t)=exp(-iS·α)Ψ(X,t)。
这就是说在时间t不变的情况下,波函数Ψ(X,t)的空间坐标矢量X在角动量S方向旋转无穷小α角后变成矢量X。
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