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题目真的很简单,瞧一眼就能秒掉,换作以前,她甚至都懒得动笔。
不过这一次,因为是给小组成员讲解示范,所以她尽可能的详尽。
而这一详尽,就想得比较多。
结果就是,她发现这么简单的一道题,竟然能总结延伸出那么多有意思的东西。
这种平平无奇却竟暗藏乾坤的神奇,让陆兮感觉自己打开了新世界的大门。
这种充满了无与伦比的满足与新奇感,或许只有在黎曼猜想已被学界普遍接受的理论框架里,她未来突然挖掘出足以动摇根基、改写证明路径的反例,完全打破常规预期,开辟出全新思维天地,才能与之媲美了。
心情愉悦之下,她掏出手机点了个外卖。
然后一边等外卖,一边从沙发上拿起看了一半的奥数题集。
这一次,她不再抱着刷题的念头去看题目。
随手翻看这么一道题,还没开始解题呢,陆兮就想起了周六的辅导课,金老师曾经说过的,数学的本质在于如何将问题的复杂性转化为简单的形式。
实际上很多看似复杂的数学问题,都隐藏着某种对称性或者结构化的规律,只有善于从条件中提取关键信息,才能将问题归约为可解的形式。
就比如这道。。。
只要理解题目与条件,就能通过特定的选择简化问题,导出:
然后假设??_1=??_2=?=??_??=??是一个有效的解。
像这种对称问题,往往可以通过递推与归纳,尝试将所有的??_??设为相同值进行对称简化来进行解决。
接下来,只要将对不等式的条件进行极端情况分析,假设??_1≠??_2。
通过对条件进行反复推敲,找出其中的深层次结构,缩小解空间,就可以推导出矛盾。
最终得出必须有??_1=??_2=?=??_??。
笔触到这里,陆兮总结了一下。
数学不仅仅是计算,更重要的是结构化思维和逻辑推理。解题的过程实际上是在构建一种清晰、严谨的思维模型,而这个模型越简单、越对称,就越能揭示问题背后的深刻规律。
收获+1。
陆兮表示很满意,继续看题。
给定一个正整数??,我们把??的所有约数(包括1和??本身)表示为??_1,??_2,??_3···??_??,(其中??是??的约数个数)。考虑从这??个约数中任意选择两个不同的约数??_??和??_??,求证:存在一个常数??,使得对于所有的正整数??,都有以下不等式:
这道题本身属于数论范畴,其中的知识基础主要是数论中关于正整数约数的概念。
只需要知道什么是正整数的约数,以及如何表示这些约数,就能精准把握到这道题的关键信息:正整数??及其约数。
后面所有后续的操作都围绕着??的这些约数展开。
至于题目要求找到一个对于所有正整数??都成立的常数??,自然是从具体的??的约数情况出发去归纳规律。
通过分析约数之间的运算关系,归纳出一个普遍适用的不等式关系。
这个不等式是问题的核心要求。
陆兮想到了一个方法,决定利用约数中的极值(最小约数1和??最大约数本身)来分析不等式试一试。
没想到这一试,问题迎刃而解。
是了,对正整数??的约数进行标记??_1,??_2,??_3···??_??,并对这些约数进行组合和运算,研究它们之间的不等式关系,或许是数论问题的研究方法之一。
收获+2。
……
如此,陆兮以笔为舟,思维作桨,捕捉解题过程中的奇思妙想,将那些灵光一闪沉淀为可复用的技巧,深挖背后隐匿的数学思想。
为深入数学处女地做准备。
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