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然后就看到陆兮又走了回来,拿过已经交还他们手上的笔和草稿纸。
“我刚刚想到,或许我们可以就这道题做一些延伸讨论。”
这道题有什么值得延伸讨论的地方吗?
黄先发和他的小伙伴们同时地铁老人问号脸。
陆兮过去是喜欢做题的,她的做题甚至已经进一步到了刷题的程度。
但在与傲雪的一番聊天之后,她总觉得学数学是要刷题的,但不应该止步于刷题。
人也不是刷题机器。
那么,不想沦为刷题机器,应该怎么做呢?
这是她这个下午在课堂上魂不守舍,思考了一个下午的问题。
带着这个疑问,在解答这道简单的基础代入解题时,她的脑子转得特别快,只是一会儿就想了很多很多。
所以此时此刻,她的脑海中生出了很多很多想法,有种一吐而后快的强烈倾诉欲。
看到黄先发和他的小伙伴胡文亮他们竖起耳朵,一副已经做好洗耳恭听的模样,陆兮不假思索说道:“表达式??^2+??+1是一个关于??的二次递推式,而质数生成的多项式一直是数论中的重要问题。”
“举个例子?”胡文亮觉得自己还是上道一些比较好。
陆兮于是顺口说道:“比如比较有名的欧拉的质数生成多项式:??^2+??+41,在??=0到39的范围内会生成质数。”
“事实上,对于??^2+??+1,它本质上是一个循环递推的形式,其特殊性质在于它与三次单位根的关系,比如,??^3?1=0的分解因式之一??^2+??+1的离散形式。”
“也就是说,它与三次单位根在复数域中的几何意义有关。”
“然后呢,有什么意义?”胡文亮皱着眉头问。
陆兮略一沉吟:“这种形式在有限域比如模??的整数环中有独特的行为,或许可以用来研究质数分布模式。”
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“所以这就是你说的深层次的延伸,好像还挺有趣的。”胡文亮眼前一亮,感觉自己似乎进入了一个新的境界,“可以细说一下怎么用来研究质数的分布模式吗?”
“在有限域比如模??的整数环中,研究表达式??^2+??+1的行为时,我们可以发现它特定的周期性和结构,这对于研究质数的分布模式有一定的启发作用,比如……”
草稿纸上,陆兮下笔如有神助。
研究??^2+??+1在模??下的行为,我们就可以考察表达式??^2+??+1在模??(??是质数)下是否能生成所有剩余类,或者是否会恒为非零。
1.在模3的情况:
??^2+??+1=0,模3对于任意??恒成立。
证明:??^2+??+1=??(??+1)+1
对于模3,有??和??+1总有一个能被3整除,因此??(??+1)恒为3的倍数,加1后结果就是0。
结论:在模3意义下,表达式恒为0。
2.在模5的情况:
我们列出??=0,1,2,3,4时??^2+??+1模5的值:
??=0???^2+??+1≡1模5
??=1???^2+??+1≡3模5
??=2???^2+??+1≡2模5
??=3???^2+??+1≡2模5
??=4???^2+??+1≡3模5
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